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Formule per L'Astrofotografia

 

Descrizione

 

Di seguito vengono riportati alcuni formulari utili nell'astrofotografia insieme ad una tabella relativa alle dimensioni dei sensori.

 

L'elenco include:

  • Campo apparente dell'oculare e corrispondente campo reale;
  •  

  • Formule varie sul rapporto Arc-sec/Pixel;
  •  

  • Campionamento ideale nella ripresa CCD dei pianeti;
  •  

  • Formule relative ai riduttori di focale;
  •  

  • Formule relative alla proiezione da oculare;
  •  

  • Formule per il calcolo della distanza tra le particelle di polvere e il CCD e relativi effetti;
  •  

  • Formule circa i riflessi dei filtri sui CCD;
  •  

  • Magnitudine limite visuale;
  •  

  • Rapporto segnale/rumore;
  •  

  • Formula per calcolare le dimensioni del disco di Airy;
  •  

  • Calcolo dell'errore periodico di una montatura;
  •  

  • Lunghezza delle tracce degli oggetti ripresi da fotocamere;
  •  

  • Velocità dell'autoguida;
  •  

  • Zona critica del fuoco.
  •  

 

 

N. B.

Per inserire i numeri decimali utilizzare sempre il punto (.) e non la virgola (,).

 


Formule matematiche utili all'astrofilo

 

Di seguito una serie di link da consultare delle formule molto utili per l'astrofografia, trovate in rete e migliorate, se ci sono i proprietari delle formule, sono ben lieto di inserire un ringraziamento a chi si e' prodigato a creare queste formule.

  • Ingrandimento visuale
  •  

  • Campo apparente e campo inquadrato reale degli oculari
  •  

  • Campo inquadrato dal CCD
  •  

  • Rapporto arcsec/pixel partendo dalla dimensione nota di un oggetto
  •  

  • Rapporto focale (F/) conoscendo il rapporto arcsec/pixel
  •  

  • Lunghezza focale partendo dalla dimensione nota di un oggetto
  •  

  • Dimensione di un oggetto sul sensore partendo da dimensione angolare e focale
  •  

  • Campionamento ideale CCD
  •  

  • Riduttori di focale
  •  

  • Proiezione da oculare
  •  

  • Ombre causate da polvere sul ccd
  •  

  • Riflessi dei filtri sul ccd
  •  

  • Magnitudine limite nel visuale
  •  

  • Rapporto segnale rumore
  •  

  • Dimensione disco di Airy
  •  

  • Errore periodico della montatura
  •  

  • Lunghezza della traccia delle stelle
  •  

  • Velocità autoguida
  •  

  • Zona critica per il fuoco & zona di fuoco CCD
  •  

  • Massima distanza filtro-sensore per evitare la vignettatura
  •  

  • Calcolatore entità della rotazione di campo
  •  

     

     

    Tabella relativa alle dimensioni dei sensori delle Camere Digitali e Reflex


    sensori digitali


     

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    Ingrandimento visuale

    L'ingrandimento di un telescopio in visuale è definito come rapporto fra lunghezza la focale dell'obiettivo e quella dell'oculare. Ciò però non significa che l'angolo sotto il quale osserviamo l'oggetto viene semplicemente moltiplicato per l'ingrandimento (per esempio la Luna, che sottende ad occhio nudo 30', a 400x sottenderebbe più di 180 gradi, che non ha senso). In realtà, per conoscere la dimensione angolare apparente dell'oggetto osservato bisogna invece applicare la formula che segue



    Focale dell'obiettivo (mm)
    Focale dell'oculare (mm)
    Dimensione angolare dell'oggetto osservato in minuti e secondi d'arco ' "
     
    Ingrandimento
    Dimensione angolare apparente in gradi
    Corrispondente ad un'auto utilitaria (4,2m) vista da una distanza di
    O ad una moneta da due euro (26mm) vista da una distanza di

     

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    Campo apparente dell'oculare e corrispondente campo reale

    Di seguito riportiamo due metodi: il primo è più approssimativo, ma più semplice da applicare dato che spesso non si conoscono le caratteristiche del field stop.



    Metodo 1

     

    Focale del telescopio
    Focale dell'oculare
    Campo apparente dell'oculare
     
    Campo inquadrato reale

    Metodo 2

     

    Focale del telescopio
    Diametro del Field Stop
     
    Campo inquadrato reale


     

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    Campo inquadrato dal CCD in primi d'arco (ArcMin)

    A partire dalla dimensione del CCD in millimetri o da risoluzione e dimensione pixel




    Metodo 1

     

    Focale del telescopio
    Larghezza del sensore CCD (mm)
    Altezza del sensore CCD (mm)
     
    Campo inquadrato in primi d'arco


     

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    Metodo 2

     

    Focale del telescopio
    Larghezza del pixel del CCD (micron)
    Altezza del pixel del CCD (micron)
    Larghezza del CCD in pixel
    Altezza del CCD in pixel
     
    Campo inquadrato in primi d'arco


     

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    Rapporto arcsec/pixel partendo dalla dimensione nota di un oggetto


    In alternativa, possiamo prendere la dimensione in arcosecondi di un oggetto e dividerla per le dimensioni dell'oggetto in pixel.


    Dimensioni dell'oggetto in arcosecondi
    Dimensioni dell'oggetto in pixel
     
    Rapporto arcsec/pixel risultante


     

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    Rapporto focale (F/) conoscendo il rapporto arcsec/pixel


    Conoscendo il rapporto arcsec/pixel, l'apertura e la dimensione del pixel, il rapporto focale si ricava come:


    Dimensione pixel CCD (micron)
    Pixel binning
    rapporto arcsec / pixel dell'immagine
    Apertura telescopio (mm)
     
    Rapporto focale risultante


     

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    Lunghezza focale partendo dalla dimensione nota di un oggetto


    Possiamo usare questa formula per ottenere una misurazione ragionevolmente accurata della lunghezza focale quando conosciamo le dimensioni apparenti in arcosecondi di un oggetto o la distanza, sempre apparente e in arcosecondi, tra due stelle e i corrispondenti valori in pixel:


    Dimensione pixel CCD (micron)
    Pixel binning
    Dimensione dell'oggetto in pixel
    Dimensione dell'oggetto in arcsec
     
    Lunghezza focale risultante


     

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    Dimensione di un oggetto sul sensore partendo da dimensione angolare e focale


    Con questa formula è possibile calcolare la dimensione di un oggetto sul sensore CCD in mm e in pixel conoscendone la dimensione angolare in primi o secondi d'arco e sapendo la focale di ripresa.


    unità di misura dell'oggetto
    Dimensione dell'oggetto
    Lunghezza focale di ripresa in mm
    [opz. - solo per il calcolo in pixel] Dimensione pixel CCD (micron)
    [opz. - solo per il calcolo in pixel] Pixel binning
     
    Dimensione dell'oggetto in pixel
    Dimensione dell'oggetto in mm


     

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    Campionamento ideale nella ripresa CCD di pianeti


    Questa formula ci fornisce la lunghezza focale minima necessaria per ottenere il massimo campionamento con una data CCD. La formula parte dal presupposto che il seeing e l'ottica siano perfetti. Utilizzando la tipica tecnica del "lucky imaging" con esposizioni brevi e tanti frame ripresi, l'assunto è ragionevole anche se non pienamente verificato. Un campionamento ideale, secondo questa formula, corrisponde alla risoluzione massima del telescopio spalmata su 3 pixel.


    Filtro di ripresa
    Lunghezza d'onda (nm)
    Apertura (mm)
    Dimensione pixel CCD (micron)
     
    Rapporto focale risultante
    Lunghezza focale risultante


     

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    Riduttori di focale

    Questa formula calcola la focale risultante quando si usa un riduttore di focale:
    questa calcola la quantità di backfocus che viene utilizzata dal riduttore su di un determinato setup:


    Riduttore di focale
    distanza tra ccd e riduttore (mm)
    Lunghezza focale del riduttore (mm)
    rapporto focale del telescopio
     
    Rapporto focale risultante
    Quantità di fuoco interno necessario*


     

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    Dove:


    a = Distanza del CCD dal riduttore di focale
    b = lunghezza focale del riduttore
    c = Rapporto focale del telescopio. I riduttori Celestron/Meade hanno le seguenti lunghezze focali.
    [nota: intorno al 2006, Meade ha messo in circolazione dei riduttori 0.63 che avevano una lunghezza focale pari alla metà di quella che sarebbe dovuta essere, rendendoli inadatti all'uso con ruote portafiltri e Reflex. Quelli marchiati "Japan" sono OK così come lo sono quelli marchiati "China".]
    :

    FR 0.33x Lunghezza focale = 85mm
    FR 0.63x Lunghezza focale = 285mm

     

    William Optics 0.8x FR Lunghezza focale = 260mm
    ATIK 0.5x FR Lunghezza focale = 80mm* Notare che il calcolo del fuoco interno necessario presuppone che la necessaria distanza tra riduttore e CCD sia aggiunta al treno ottico, come quando si usano i raccordi Celestron o Meade per SC. Se si usa un riduttore di focale come quello Atik, che si inserisce all'interno del treno ottico già presente, allora si deve aggiungere la distanza al risultato (in modo da ridurlo). Se invece si usa un riduttore di focale come quello Meade/Celestron, allora bisogna sottrarre la lunghezza focale al risultato, per aumentarlo o renderlo negativo).

     



     

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    Proiezione da oculare

    Questa formula serve per calcolare la focale (e il rapporto focale) risultante utilizzando la tecnica della proiezione da oculare:


    Distanza Oculare-CCD(mm)
    Focale del telescopio(mm)
    Rapporto focale del telescopio
    Lunghezza focale dell'oculare(mm)
     
    Rapporto focale risultante
    Lunghezza focale equivalente(mm)
    Fattore di ingrandimento


     

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    Dove:



    epid = Distanza dell'oculare dal CCD

    epfl = Lunghezza focale dell'oculare

    Note:



    Questa formula fornisce un valore approssimativo del rapporto focale e della lunghezza focale equivalente. La distanza dal CCD all'oculare è infatti difficile da misurare e il suo punto nodale (cioè il punto d'efficacia dell'oculare, che di solito si trova all'interno dell'oculare) è spesso sconosciuto.



     

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    Ombre causate da polvere lungo il percorso ottico

    In caso di macchie sull'immagine del CCD dovute a granelli di polvere lungo il percorso ottico, può essere utile capire a che distanza si trova il granello dal sensore per poterlo eliminare. Questa formula consente di calcolare tale distanza:


    Dimensione pixel CCD (micron)
    Pixel binning
    Rapporto Focale del sistema di ripresa
    Diametro delle macchie di polvere (pixels)
     
    Distanza dal CCD (mm)


     

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    Dove:



    Dist = Distanza in mm dalla superfice del CCD

    p = Dimensione in micron dei pixel del CCD

    f = Rapporto focale del sistema di ripresa

    d = Diametro delle macchie di polvere in pixel



     

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    Riflessi dei filtri sul ccd

    In caso di aloni attorno alle stelle, ecco una formula che ci dice quanto è distante dal ccd la loro fonte.


    Dimensione pixel CCD (micron)
    Pixel binning
    Rapporto Focale del sistema di ripresa
    Diametro dei riflessi in pixel
     
    Distanza dal CCD (mm)


     

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    Dove:



    Dist = Distanza dal CCD in mm

    D = Diametro dei riflessi in pixel

    P = Dimensione pixel CCD in micron

    FR = Rapporto Focale del sistema di ripresa



     

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    Magnitudine limite visuale


    Una formula approssimativa per calcolare la magnitudine limite in visuale per un dato telescopio è:


    formula

    La magnitudine limite fotografica è di circa un paio di punti più debole.



     

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    Rapporto Segnale/Rumore


    Questa è una formula semplificata per il calcolo del rapporto Segnale/Rumore:




    formula

    Dove:



    S = Segnale complessivo del soggetto

    B = Segnale complessivo del fondo

    D = Corrente di dark

    RN = Rumore di lettura del Bias

    n = Numero delle pose



     

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    Diametro del disco di Airy


    Questa è una formula per calcolare le dimensioni del disco di Airy prodotto da un telescopio:


    Colore della luce
    Lunghezza d'onda (nm)
    Diametro del telescopio (mm)
    Rapporto focale del sistema di ripresa
     
    Dimensioni del disco di Airy (mm)
    Dimensioni angolari del disco di Airy in arcsec

    Dove:



    D = Diametro del disco di Airy in mm

    λ = Lunghezza d'onda della luce in nm

    FR = Rapporto focale del sistema di ripresa

    A = Diametro angolare del disco di Airy

    fl = Lunghezza focale del telescopio



     

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    Calcolo dell'errore periodico della montatura


    Per calcolare l'errore periodico della montatura utilizzando un CCD o una webcam di solito si mettono in un foglio di calcolo una serie di dati che rappresentano lo scostamento di una stella ripresa e poi si crea un grafico. I dati rappresentano uno scostamento e un orario. Per convertire i valori dell'errore in arcosecondi, bisogna conoscere il rapporto arcosec/pixel della ripresa e la declinazione della stella. La formula completa è la seguente:



    formula

    Dove:



    D = Deviazione della posizione della stella da quella iniziale

    R = Risoluzione della CCD in arcosecondi

    Dec = Declinazione della stella

    Note:



    Naturalmente si può eliminare la necessità di conoscere la declinazione della stella puntandone una in prossimità dell'equatore celeste.



     

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    Lunghezza delle strisciate delle stelle


    La seguente formula calcola la lunghezza delle tracce lasciate dalle stelle in una ripresa del cielo a camera fissa:


    F = Lunghezza focale del telescopio (la lunghezza delle strisciate sarà espressa nella stessa unità di misura usata per questo dato)

    E = Durata delle esposizioni

    T = Lunghezza del giorno siderale espressa nella stessa unità di misura della lunghezza delle esposizioni

    D = Declinazione della stella 


    Oppure, per chi fa immagini CCD:

    Lunghezza focale (mm)
    Durata esposizioni (secs)
    Declinazione
    Dimensioni pixel (micron)
    Binn
     
    Lunghezza traccia stellare


     

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    Velocità autoguida


    Questa formula calcola di quanti pixel per secondo si muovere la montatura durante l'autoguida. Il calcolo parte dal presupposto che gli assi di ar e dec siano perfettamente allineati agli assi del sensore.


    Dove:



    str = Velocità di inseguimento siderale (15.04 arcsecs/secondo)

    gr = Velocità di guida della montatura (frazione di quella siderale)

    aspp = Rapporto arcsec/pixel della camera di guida o di ripresa

    dec = Declinazione della stella

    Lunghezza focale del telescopio guida (mm)
    Velocità di guida della montatura (frazione di quella siderale)
    Declinazione della stella guida
    Dimensione dei pixel della camera (micron)
    Binning
     
    Spostamento al secondo


     

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    Zona critica del fuoco


    La formula seguente calcola la lunghezza della zona in cui l'immagine di una stella a fuoco è più piccola del suo disco di Airy.

    che può essere espressa come:


    Per le camere CCD usiamo un campionamento a 2X:
    Dove:

    λ = lunghezza d'onda della luce


    Colore della luce
    Lunghezza d'onda della luce
    Rapporto focale
    Dimensioni dei pixel del CCD (micron)
    Binning
     
    Zona critica del fuoco
    Zona critica del fuoco su CCD


    Nota:



    La zona critica del fuoco per i CCD è diversa perché con rapporti focali bassi la dimensione del disco di Airy diventa molto più piccola della dimensione media dei pixel delle CCD. Il valore della zona critica per il CCD, nel caso in cui il disco di Airy sia la metà della dimensione efficace dei pixel, assume quindi il valore "CCD focus zone" definito nella formula in alto, che fornisce un'indicazione più precisa della CFZ per gli astrofotografi.

    Nota 2:



    Se si utilizza una barlow o la proiezione dell'oculare, la zona critica del fuoco sul CCD sarà quella relativa al rapporto focale equivalente ottenuto, mentre la zona critica del fuoco in corrispondenza del focheggiatore resterà quella originale. In pratica, solo se il focheggiatore fosse montato a valle di una barlow nx, si avrebbe una profodità di fuoco aumentata di n^2 volte; per un focheggiatore posto a monte continua invece a valere la zona critica originaria propria del telescopio.



     

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    Massima distanza filtro-sensore per evitare la vignettatura

    Questa formula calcola la massima distanza che può intercorrere fra il sensore e un filtro prima che compaiano effetti di vignettatura:


    Larghezza del sensore (mm) [o diagonale, mettendo a 0 l'altezza]
    Altezza del sensore (mm)
    diametro INTERNO del filtro (mm)
    Rapporto focale del telescopio (F/D)
    Apertura (mm)
     
    Massima distanza filtro-sensore


     

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    Rotazione di campo

    A causa della rotazione terrestre, le foto astronomiche fatte ad esempio da un cavalletto sono naturalmente affette da rotazione di campo. L'uso di una montatura equatoriale ben stazionata o di un derotatore sono metodi comuni per eliminare il problema compensando tale effetto. Le foto fatte da una montatura equatoriale non correttamente stazionata rimangono invece affette da rotazione di campo. Questo anche se viene impiegata l'autoguida, che compensa le derive causate dal cattivo stazionamento ma non la rotazione. È quindi interessante conoscere la relazione fra errore di stazionamento e rotazione di campo per verificare in quali condizioni si verifica una rotazione non accettabile, cioè che genera evidente mosso. Un caso estremo in cui conoscere l'entità della rotazione di campo può essere interessante è l'astrofotografia planetaria fatta con montature altazimutali. In questo caso, anche se i singoli video sono troppo brevi per evidenziare l'effetto della rotazione di campo, per sommare frame presi a distanza di minuti è generalmente necessario ruotare opportunamente i frame per compensare il fenomeno. In pratica, la rotazione di campo appare avvenire attorno alla stella guida (o nel punto di riferimento scelto per l'allineamento fra più frame, in caso di somma di pose brevi non guidate). Ovviamente, i punti più lontani dal centro di rotazione mostreranno una sbavatura più evidente. La distanza dal centro di rotazione, così come lo spostamento delle stelle nel tempo, può essere misurata in primi d'arco, in mm o in pixel. A seconda dell'unità di misura scelta, può essere necessario conoscere anche la focale di ripresa per scalare correttamente il risultato, ma in generale la rotazione di campo, essendo un angolo, non dipende dalla focale di ripresa. La formula di seguito riportata usa il pixel come unità di misura, ed è quindi necessario conoscere la distanza in pixel fra il centro di rotazione e il punto in cui si osserva la rotazione. Ad esempio, se la stella guida si trova al centro del campo inquadrato, il primo valore da inserire è la metà della diagonale del sensore, che è poi lo stesso numero da usare nel caso in cui allineiamo a posteriori più frames ripresi in tempi diversi sul centro dell'immagine stessa. In output, un risultato in pixel maggiore di 1 indica che si avrà del mosso dovuto a rotazione di campo. La formula è approssimata per eccesso e si riferisce alla ripresa di un oggetto posto sul meridiano locale con errore in altezza (caso peggiore). La formula applicata è la seguente:



    Distanza dalla stella guida (o raggio del pianeta, o semidiagonale del sensore - vedi testo) misurata in pixel
    Durata della singola esposizione (s)
    Declinazione approssimata del soggetto (gradi)
    Errore di stazionamento in gradi e primi (per una montatura altazimutale, inserire il complementare latitudine locale, cioè 90-lat) ° '
    Rotazione di campo in primi:
    Rotazione di campo in pixel:


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